\chapter{波动光学3（偏振）}
\section{选择题}
\exercise B

\solve 由马吕斯定律知，线偏光透过检偏器时的光强$I=I_0\mathrm{cos}^2\theta$，故光强先增加，后减小至0。

\exercise D

\solve A：部分偏振光可以看作是线偏光和自然光的合成，而自然光的光振动沿任意方向都有分布，正确；

B：部分偏振光的自然光分量透过旋转的偏振片永远不会使光强降为0，正确；

C：自然偏振光和线偏光均可以分解为两个相互正交的、无相位关系的线偏光，正确；

D：部分偏振光中的自然光分量在经过偏振片时光强一定会减小，错误，选D。

\exercise C

\solve 从偏振度的定义来看，图中两个方向偏振的光的标记数量得越均匀，则偏振度越小。其中C图两个方向偏振的光的标记数量相等，是自然光，故偏振度为0，偏振度最小，选C。

\exercise C

\solve 如果入射光是部分偏振光，则在偏振光旋转的时候，部分偏振光的线偏振光部分的光强会变化，而自然偏振光部分不会变化，叠加起来导致出射光强对偏振片转动有变化但没有消光，满足条件；

如果是椭圆偏振光，则可根据椭圆的对称轴将偏振光分解为正交的两个分量$I_1\leqslant I_2$，总光强$I_0=I_1+I_2$，如图\ref{4}所示。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.9]{Chp17_4.jpg}
	\caption{题4\ 示意图}
	\label{4}
\end{figure}

其中在经过偏振片后，透过两线偏光光强分别为$I_1'=I_1\mathrm{sin}^2\theta$，$I_2'=I_2\mathrm{cos}^2\theta$。而$I_1',I_2'$原本d的相位差为$\frac{\pi}{2}$或$\frac{3\pi}{2}$，在有些时候，当偏振方向使得矢量在相反方向分解时，有附加相位差$\pi$，故总的相位差仍可化为$\Delta \varphi=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$。而两线偏光在同一偏振面内，故合成的是线偏光，光强为$I=I_1'+I_2'+2\mathrm{cos}\Delta \varphi\sqrt{I_1'I_2'}$，代入上述关系，得$I=I_1\mathrm{sin}^2\theta+I_2\mathrm{cos}^2\theta=I_1+(I_2-I_1)\mathrm{cos}^2\theta$。当$I_1\not= I_2$时，$I$会随$\theta$变化，且$I_2-I_1>0$，光强不会变为0，不会消光，这种椭圆偏振光满足条件；而当$I_1=I_2$时，即圆偏光，$I=I_1=I_2=\frac{1}{2}I_0$，光强与偏振片角度无关，即光强不变化，故圆偏光一定不满足条件。

如果入射光是线偏光，则当偏振化方向与偏振方向垂直时会消光，不满足条件。

由以上讨论对选项进行检查：A，B：入射光是部分偏振光或是非圆偏光的椭圆偏振光时，可以满足条件，故两者都错；C：入射光是圆偏光时，偏振光旋转不可能使光强发生变化，故不可能是圆偏光，正确；D：旋转偏振片可以使线偏光消光，错误。

\exercise A

\solve 在光经过偏振片后，光的强度减为原来的一般，而光的偏振方向相同，仍然满足干涉条件，故在屏上仍有干涉条纹，但光强减为原来的一半，选A。

\exercise B

\solve 由书中介绍，可以得知自然光入射到两种介质界面上时，反射光一般是部分偏振光，在入射角为布儒斯特角时反射光为线偏光。故ACD正确，B错误。

\exercise B

\solve 由于自然光是以布儒斯特角从空气入射玻璃，故1光是线偏振光，2光是部分偏振光；而2光从玻璃入射空气时，也是以布儒斯特角入射，故反射光3是线偏振光，且光矢量方向垂直于入射面，选B。

\exercise C

\solve 由书中对o光和e光的介绍，知o光在晶体中的波阵面是球面，e光在晶体中的波阵面是旋转椭球面，选C。

\exercise C

\solve 见题4对椭圆偏振光透过偏振片的光强的推导，有当椭圆偏振光为圆偏光时，透过的线偏光的光强为$I=\frac{1}{2}I_0$，是原来光强的一半。故选C。

\exercise A

\solve 自然光可以沿1/4波片的光轴方向分解为两个光强相等的正交分量，但没有固定的相位关系，故在通过波片后，虽然某一方向的相位增加了$\frac{\pi}{2}$，但两分量的相位差仍然没有固定关系，但两分量的光强度不变，所以出射光仍然是自然光，选A。

\section{填空题}

\exercise 起偏方向$\quad$起偏器$\quad$检偏器

\solve 由书中定义可得。

\exercise 平行于入射面

\solve 已知以布儒斯特角入射的光线，其反射光只能是垂直于入射面的；而由于这束偏振光没有反射的部分，故该偏振光没有垂直于入射面的分量，故该偏振光的光矢量振动方向为平行于入射面。

\exercise $\frac{\sqrt{2}}{2}A$

\solve 将振幅沿偏振光方向分解，沿偏振方向的振幅为$A'=A\mathrm{cos}45^{\mathrm{o}}=\frac{\sqrt{2}}{2}A$，故透过偏振片的光振幅为$\frac{\sqrt{2}}{2}A$。

\exercise $60^{\mathrm{o}}$

\solve 自然光透过第一个偏振片后光强变为$I'=\frac{1}{2}I_0$，变为线偏光，再经过第二个偏振片后光强变为$I=I'\mathrm{cos}^2\theta=\frac{1}{2}\mathrm{cos}^2\theta I_0$，其中$\theta$为两偏振片的夹角。又知$I=\frac{1}{8}I_0$，故有$\frac{1}{2}\mathrm{cos}^2\theta=\frac{1}{8}$，取$0\leqslant\theta\leqslant 90^{\mathrm{o}}$，有$\theta=60^{\mathrm{o}}$。

\exercise 线偏光$\quad$垂直于入射面$\quad$部分偏振光

\solve 由书中对布儒斯特角的介绍可得。

\exercise $\mathrm{arctan}\frac{n_2}{n_1}$

\solve 入射角为$i_B$（布儒斯特角）时，折射角为$\gamma=\frac{\pi}{2}-i_B$。又由折射关系，知$n_1\mathrm{sin}i_B=n_2\mathrm{sin}\gamma=n_2\mathrm{cos}i_B$，故$\mathrm{tan}i_B=\frac{n_2}{n_1}$，有$i_B=\mathrm{arctan}\frac{n_2}{n_1}$。

\exercise $\frac{1}{2}I$

\solve 由题4对椭圆偏振光中特殊情况圆偏光的分析可得。

\exercise o$\quad$e

由书中对双折射现象的介绍可得。

\exercise $5\times 10^{-6}\mathrm{m}$

\solve 由o光和e光在材料中不同的折射率，得材料中o光和e光的光程差为$\Delta=d|n_o-n_e|$，其中$d$为材料的厚度；当$\Delta=\frac{\lambda}{4}+k\lambda,k=0,1,2,\cdots$时，可以变为1/4波片。为使$d$最小，取$k=0$，得$d_{\mathrm{min}}=\frac{\lambda}{4|n_e-n_o|}=5\times 10^{-6}\mathrm{m}$。

\exercise 在光路中添加1/2波片

\solve 将右旋椭圆偏振光沿波片的光轴分解为正交的两个振动分量，假设分解如图\ref{fig:17_20}中方向所示。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.9]{Chp17_20.jpg}
	\caption{题20\ 示意图}
	\label{fig:17_20}
\end{figure}

由于偏振光右旋，故$I_2$方向的偏振超前$I_1$方向$\Delta \varphi\leqslant\frac{\pi}{2}$；在通过半波片后，$I_2$方向的偏振超前$I_1$方向$\Delta \varphi\pm\pi$，均可等效为$\Delta \varphi'=\Delta \varphi-\pi$，其中$-\frac{\pi}{2}\leqslant\Delta \varphi'\leqslant0$，可理解为$I_1$超前$I_2$的相位为$-\Delta \varphi'=\pi-\Delta \varphi$，则方向变为右旋。故可以通过加1/2波片使椭圆偏振光从右旋变成左旋。

\section{计算题}
\exercise 

\solve 设部分偏振光的自然光部分的光强为$I_1$，线偏光部分的光强为$I_2$。在偏振片移动到透射光强最大位置时，偏振化方向与线偏光相同，则透射光强为$I_{\mathrm max}=\frac{1}{2}I_1+I_2$；当偏振片旋转$60^{\mathrm{o}}$时，透射光强为$I=\frac{1}{2}I_1+I_2\mathrm{cos}^260^{\mathrm{o}}$。由题中所给关系$I=\frac{1}{2}I_{\mathrm max}$，解得$I_1:I_2=1:1$。

\exercise

\solve 设第二个偏振片和第一个偏振片的夹角为$\theta$，则第二个偏振片和第三个偏振片的夹角为$90^{\mathrm{o}}-\theta$。则有透射光光强为$I=\frac{1}{2}I_0\mathrm{cos}^2\theta\mathrm{cos}^2(90^{\mathrm{o}}-\theta)=\frac{1}{2}I_0\mathrm{cos}^2\theta\mathrm{sin}^2\theta=\frac{1}{8}I_0\mathrm{sin}^22\theta$。则当$\theta=45^{\mathrm{o}}$时，光强最大。

\exercise

\solve 入射光为强度相等的线偏振光和自然偏振光混合而成，故线偏光部分强度为$I_1=\frac{1}{2}I_0$，自然光部分强度为$I_2=\frac{1}{2}I_0$。在该光经过第一个偏振片时，光强变为$I'=I_1\mathrm{cos}^2 30^{\mathrm{o}}+\frac{1}{2}I_2=\frac{5}{8}I_0$，为线偏光。再经过第二个偏振片，光强变为$I''=I'\mathrm{cos}^2 60^{\mathrm{o}}=\frac{5}{32}I_0$。

\exercise

\solve 设晶片的厚度为$d$。光的分解和叠加情况如图\ref{24}所示。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includegraphics[scale=0.6]{Chp17_24.jpg}
	\caption{题24\ 示意图}
	\label{fig:17_24}
\end{figure}

从图\ref{fig:17_24}中可以看出，在自然光经过偏振片1后，变为线偏光；在经过方解石晶片后被分解为o光和e光，并且由于其在晶片中的运动速度不同，产生了一部分光程差；再经过偏振片2，o光和e光均被分解到偏振片2的方向（$I_1,I_2$）。可以看出，其参考方向相反，则在干涉叠加的时候又附加光程差$\frac{\lambda}{2}$。故$I_1,I_2$之间总光程差为$\delta=d|n_o-n_e|+\frac{\lambda}{2}$。而当$\delta=n\lambda,n=1,2,\cdots$时，光达到相长干涉，光通过系统达到极大。则计算得满足条件的$d=\frac{\lambda}{|n_o-n_e|}n-\frac{\lambda}{2|n_o-n_e|}=3.488n-1.744(\mathrm{\mu m})$。

当$n=3$时，$d=8.720 \mathrm{\mu m}<10 \mathrm{\mu m}$；
当$n=4$时，$d=12.208 \mathrm{\mu m}>10 \mathrm{\mu m}$。
故$d$取$8.720 \mathrm{\mu m}$，
应至少磨去$\Delta d=10-8.720=1.28 \mathrm{\mu m}$（保留三位有效数字）。
